可能,比如对于集合A={1,2},则关系R={(1,1)},即不是自反的,也不是反自反的。
如果对于每个$a \in R$,有$(a,a) \notin R$,那么集合A上的关系R是反自反的,即如果没有A中的元素与自己有关系,关系R就是反自反的。
$ \forall x ((x,x) \notin R)$
一般用于比较的关系,如“A比B高”,“A比B跑得快”等,满足反自反关系。另外,比较中可以包含“相等”关系,“A比B高或者跟B一般高”。
“非对称(asymmetric)”与“反对称(irreflexive)”有区别。“反对称”中可以存在(x,x),但非对称中不能。
只有d是非对称的
只有a是非对称的
四个都不是非对称。
b中,如果网页a上没有链接,则(a,a)没有公共链接,属于R。所以不是“非对称”
全都不是“非对称”。
非对称的关系一定是反对称的。反对称的关系不一定是非对称的。
非对称的定义:
反对称的定义:
如果一个关系是非对称的,则为false。则的前件为假,故命题为真。所以它也是“反对称的”。
但反过来,一个关系是反对称的,则(x,x)可以存在关系中,而它不满足非对称的定义,所以不是非对称的。实际上,一个关系是非对称时,当且仅当它即是反对称又是反自反。