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(2013-01-05) 7.1 关系及其性质 01 ~ 12

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题目 01

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解答 01

a) a等于b

{ (0,0), (1,1), (2,2), (3,3) }

b) a与b的和为4

{ (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) }

c) a大于b

{ (1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) }

d) a整除b

a不可为0,b可为0.

{ (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (4,0) }

e) a与b的最大公约数为1

gcd: greatest common divisor,最大公约数

定义:如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。

在离散数学中,“自然数”包括0和正整数。

0与1的最大公约数为1。因为1的最大约数为1,它又能整除0。

{ (0,1), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1), (4,3) }

f) a与b的最小公倍数为2

lcm: Least Common Multiple,最小公倍数

{ (1,2), (2,1), (2,2) }


题目 02

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例4是什么样的

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解答 02

a) 集合表示法

{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6) }

b) 图表示法

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c) 矩阵

R 1 2 3 4 5 6
1 x x x x x x
2   x   x   x
3     x     x
4       x    
5         x  
6           x

问题 03

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解答 03

a)

b)

c)

d)

e)

f)


问题 04

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解答 04

a) a比b高

b) a和b生在同一天

c) a和b同名

d) a和b有共同的祖父母


问题 05

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解答 05

a)

关键在于“每个”两字,可以理解为“所有”。

b)

c)

d)


问题 06

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解答 06

a) x+y=0

b) x=±y

c) x-y是有理数

d) x=2y

e) xy≥0

f) xy=0

h) x=1或y=1


题目 07

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解答 08

a) x≠y

b) xy≥1

在做这个题的时候,我开始认为它是自反的,怎么都想不明白。后来在stackoverflow上网友的帮助下,才明白我对自反的概念理解错了。

自反的概念:A relation R on a set A is called reflexive if (a, a) ∈ R for every element a ∈ A,即对集合中所有的元素都有(a,a)属于R。

我之前理解成了,对于属于R的域中的每一个元素a都有(a,a)属于R。

这是提问:http://math.stackexchange.com/questions/271638/reloation-r-is-xy1-and-xz-and-yz-is-r-reflexive

从提问到得到答案只花了2分钟,太靠谱了!

c) x=y+1或x=y-1

d) x≡y(mod 7)

e) x是y的倍数

f) x与y都是负的,或者都是非负的

g) x=y^2

h) x≥y^2


题目 08

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解答 08

a)

如果一个关系既是对称的,又是反对称的,只有一种可能:如果有对称点,则对称点在矩阵的主对角线上。

假设集合A为{1,2,3,4},则{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}的任一子集都是对称和反对称的。

b)

关系中既包含不相等的对称点,又包含没有对称点的点。

假设集合A为{1,2,3,4},则{(1,1),(2,1),(1,2),(2,3)},既不是对称的,也不是反对称的。


题目 09 ~ 12

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解答 09 ~ 12

反自反比较好判断。只有当矩阵主对角线上全部为假时,即关系中不存在(a,a)这样的元素时,关系才是反自反的。

9.

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其中,c、d、f是反自反的。

10

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其中,a是反自反的。

11

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四个都不是反自反的。

12

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全部都不是反自反的。

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